进制转换
2进制转8进制
从小数点开始向左向右，3个一组换算成8进制，缺位补0。
如例3.4
8进制转2进制
将一位8进制数换算成3位2进制数。
如例3.6
2进制转16进制
从小数点开始向左向右，4个一组换算成16进制，缺位补0。
16进制转2进制
将一位16进制数换算成4位2进制数。
8进制转16进制(拓展)
从小数点开始向左向右，2个一组换算成16进制，缺位补0。可以先变成2进制，再变成16进制。
如表3.1
2进制转10进制
每位2进制数乘以它的权重，再求和。8421
如例3.1
10进制转2进制
整数部分
除2取余至商为0，先求出来的余数靠近小数点（低位）。
如例3.7
小数部分
小数部分 乘2取整至小数部分为0或满足精度要求，先求出来的整数靠近小数点（高位）。
如例3.8
机器数的表示
- 机器数有三种表示方式：原码、反码和补码。
我们先假设机器数为小数，符号为放在最左边，小数点置于符号位和数值之间。
真值
- 即
±绝对值，用$X$表示，正号有时可省略。
原码
- 最高位为符号位，0表示正数，1表示负数，绝对值跟随其后。
- 小数点的位置默认在符号位之后，书写时可以将小数点保留或省略。
0的原码有两种表示形式：
- $[+0]_原=00000=0.0000$
- $[-0]_原=10000=1.0000$
补码
- 正数的补码与其原码一样
- 补码零的表示形式唯一：$[+0]_补=[-0]_补=00000=0.0000$
负数原码补码互求
- 符号位不变
- 数据位按位取反
- 末位+1
加法
若加法运算不超过机器范围时：
加法结果仍为补码
$[X+Y]_补=[X]_补+[Y]_补$
$[X-Y]_补=[X]_补+[-Y]_补$
符号位也参与运算
由$[Y]_补$求$[-Y]_补$
- $[Y]_补$所有位取反
- 末位+1
证明$[X+Y]_补=[X]_补+[Y]_补$
补码定义：
$X>0,Y>0$
可知$X+Y>0$，所以$[X+Y]_补=X+Y=X_补+Y_补$。
$X>0,Y<0$
$[X]_补=X$
$[Y]_补=2+Y$
$[X+Y]_补=X+Y=X_补+Y_补$
==待续==
反码
- 正数的反码与其原码一样
负数原码反码互求
- 符号位不变
- 数据位按位取反
加减法运算的溢出判断
有进位$\neq$溢出
只有两个同号数相加或两个异号数相减，才有可能溢出。
定点运算器中，无论双符号位还是单符号位，必须有溢出判断电路，它一般由异或门来实现。
以下为三种方法（双符号位法较重要）：
当符号相同的两数相加时，结果的符号与加数或被加数不相同，则为溢出。
当任意符号两数相加时，如果$C\neq C_f$，则为溢出，即溢出条件为$C\bigoplus C_f$，其中$C$为数值最高位的进位，$C_f$为符号位的进位。
采用双符号位$f_{S2}f_{S1}$，正数双符号位为00，负数双符号位为11。
两个符号位都参与运算，如果结果$f_{S1}\neq f_{S2}$，则为溢出，即溢出条件为$f_{S1}\bigoplus f_{S2}$。
若采用双符号位，运算结果的符号位为高符号位$f_{S2}$。
浮点数
浮点数指小数点位置可浮动的数据，通常以下式表示：
$N$
浮点数
$M$
尾数，mantissa
$E$
阶码，exponent（幂）
$R$
阶的基数，radix（进制、基数），$R$为一常数，在一台计算机中，所有数据的$R$都是相同的，不需要在每个数据中表示出来。
浮点数的机内表示一般采用以下形式
| 格式 | $M_S$ | $E$ | $M$ |
|---|---|---|---|
| 位数 | 1 | $n+1$ | $m$ |
| 说明 | 尾数的符号位 | 阶码，其中最高位为符号位，表示正阶或负阶 | 尾数 |
尾数规格化
定义
为了保证（极高）数据精度，尾数通常用规格化形式表示：当$R=2$，且尾数值不为0时，尾数绝对值应$\geq(0.5)_{10}$。
方法
对非规格化浮点数，通过将尾数左移或右移，并修改阶码值使之满足规格化要求。
尾数左移几位，阶码也减少几；尾数右移几，阶码就增加几。
机器零
当一个浮点数的尾数为0或阶码的值比在机器中表示的最小值还小时，计算机都把该浮点数看成零值，称为机器零。
在多数通用机中，浮点数的尾数用原码或补码表示，阶码用补码或移码表示。
移码
- $[X]_补$符号位取反后即为$[X]_移$。
- 计算机中，移码（阶码）只进行加减法运算，且需要对得到的结果进行修正，即对结果的符号位求反。
- 数据零有惟一的编码，$[+0]_移=[-0]_移=1000\dots0$。当数据小于计算机能表示的最小值时，称为机器零，将阶码（移码）置为$0000\dots0$，且不管尾数值是多少，都按浮点数下溢处理。
数值范围和精度
定义
数值范围
机器所能表示的一个数的最大值和最小值之间的范围
数据精度
一个数的有效位数
常用浮点数（IEEE754国际标准）
基数$R$为2，阶码采用移码（也称增码），尾数采用原码。因为规格化原码尾数的最高位恒为1，所以不再尾数中表示出来，计算时在尾数前边自动添上1。
| 浮点数类型 | 阶码 | 尾数 |
| :———————————: | :———: | :—————————-: |
| 单精度浮点数（32位） | 8位 | 24位（内含1位符号位） |
| 双精度浮点数（64位） | 11位 | 53位（内含1位符号位） |
浮点数的加减法运算
有5步操作，如下：
对阶
阶码较小的浮点数尾数右移$\Delta E$位，其阶码值加上$\Delta E$。
若尾数是原码表示的，是无符号移位；
若尾数是补码表示的，是带符号移位。（上边也讲了补码的符号位参与运算嘛）
尾数的加减运算
两尾数进行加减运算，得到两尾数之和/差。
规格化操作
左规
如果结果两符号位值相同，则尾数加减结果未溢出。
但若最高数值位与符号位相同，此时尾数连续左移，直至最高数值位与符号位的值不同为止，同时从阶码中减去移位的位数。
右规
如果结果两符号位值不同，则尾数加减结果溢出。此时将尾数结果右移1位，阶码+1。
舍入
作用：处理尾数右移（右规或对阶）时丢失的低位。
当丢失的最高位为1时，在尾数末位+1，如果加1使尾数溢出，就再进行一次右规。
检查阶码是否溢出
阶码溢出表示浮点数溢出。
若阶码下溢，则置运算结果为机器零（通常尾数和阶码全部置0）；若上溢，则置溢出标志。
定点原码一位乘法
定点补码一位乘法
定点原码一位除法
奇偶校验码
原理
码距：根据任意两个合法码之间至少有几个二进制位确定，若仅有1位不同，则称其码距为1。
使码距由1增加到2。
方法
为1个字节（8位）补充1位到高位，称为校验位；低8位为数据位。
添加校验位，使1的个数为奇数时，这种方法称为奇校验；使1的个数为偶数时，称为偶校验。
奇校验
若数据位中有奇数个1，校验位为0；若有偶数个1，校验位为1。
偶校验
若数据位中有奇数个1，校验位为1；若有偶数个1，校验位为0。
功能
- 发现1位或奇数个位错。
- 不能确定哪一位错，也不能发现偶数个位错。
记住第一句话即可，它的功能只有第一句话，所以第二句可有可无。
海明校验码
原理
海明校验码基于偶校验。
在数据中加入$r$个校验位，并把数据的每一个二进制位（共$k$个数据位）分配在几个奇偶校验组中，即一个数据位由多个校验位校验。
- $2^r$：$r$个校验码可以表示$2^r$个信息。
- $-1$：用1个信息表示没有错误。
- $-r$：错误也可能发生在$r$个校验位。
方法
$k$为数据位个数，$r$为校验位个数，$m=r+k$，即海明码的位数。
海明码（Hamming Code）为$H_mH_{m-1}…H_2H_1$。
- $H_i$为第$i$个海明码位。
- $P_i$为第$i$个校验位（Parity Bit）。
- $D_i$为第$i$个数据位（Data Bit）。
确定校验位的位置
每位海明码由多个校验位校验，规律如下式：
由上式可知，第$i$个校验位$P_i$的海明码位号为$2^{i-1}$或最高位，海明码的其他位为数据位。
确定校验位的表达式$P_i$
根据偶校验原理可得：
确定校验和表达式$S_i$
若某校验和的值为0，说明该组没有错。若所有校验和值为0，则海明码没有出错。
纠错
根据所有校验和的值及其表达式，是可以判断出哪一位出了错的。
功能
发现一位错并纠正。
若想发现两位错，则应再增加一个校验位$S’$，即书上例子里的$S_5$，用来判断是奇数还是偶数个出错。
若$S’$为0，则说明偶数个出错；若为1，则奇数个出错。
偶数个出错时，若$S_i$都为0，即$S$的值都为0时，则没有出错。
循环冗余校验码
模2运算
模2加减
即异或。
模2乘
按模2加求部分积之和。
模2除
按模2减求部分余数。
每求一位商应使部分余数减少一位（即不要最高的一位），并在低位补0。
当部分余数首位为1时，商取1，减数取除数；
当部分余数首位为0时，商取0，减数取0。
编码方法
数据说明
$(n,k)码$，其中高$k$位是数据位；后$r$位是校验位（与奇偶校验不同）；$n=k+r$为CRC码的长度。
令$M$为数据位；$G$为生成多项式（Generator Polynomial），它有$r+1$位。
编码
$M$左移$r$位得$M’$，$M’$模2除以$G$。
设所得余数（Remainder）为$R$，$r$位；商（Quotient）为$Q$。
$M’$加上$R$即得CRC码。
纠错方法
判断错误
CRC码模2除以$G$是可以除尽的。
若余数为0，则无误；
若余数不为0，则某一位出错，且不同位出错，余数不同。
余数与出错位对应关系不变，只与码制和生成多项式有关。
纠错
得到一个不为0的余数后：
在其右侧补0，继续除下去（余数的变化是规律的），每除一次的同时将CRC码循环左移。
循环该操作至余数为101（$G$为1011时），此时出错位在最高位。
作者：@臭咸鱼
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