Runge-Kutta法解微分方程

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连续问题，微分方程或偏微分方程一定能表示。比如疾病传染、新闻传播等。

离散问题，可以用差分方程或者类似于差分的算法。

一阶微分方程求解

方程

$y’=cos\ t$

代码

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clear,clc;

f = @(t,y) cos(t);			% 定义函数 f(t,y) = cos(t) 表示的就是dy/dt=cos(t)
tspan = [0,2*pi];			% 时间t范围
y0 = 2;					   % y的初值，用来处理积分得到的C
[t,y] = ode23(f,tspan,y0);	 % 注意调用格式
plot(t,y);
xlabel('t');
ylabel('y');

@表示句柄，当把一个函数作为参数传给另外一个函数，这时候必须要用句柄。这里是把函数f传给函数ode23。

结果

一阶微分方程.png

高阶微分方程求解

方程

$\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{r1}
y’’=-sin\ y+sin\ 5t\\
y(0)=1\\
y’(0)=0\\
\end{array}
\right.
\end{equation}$

可以将该高阶微分方程转化为两个一阶的微分方程：$\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{r1}
y_1=y\\
y_2=y’\\
y’_1=y_2\\
y’_2=-sin\ y_1+sin\ 5t\\
y_1(0)=1\\
y_2(0)=0\\
\end{array}
\right.
\end{equation}$

代码

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clear,clc;

f = @(t, y) [ y(2); -sin( y(1) ) + sin( 5*t ) ]; % 两个参数分别是y1和y2的导数
tspan = [ 0, 20 ]; % 时间t范围
y0 = [ 1; 0 ]; % 初值，分别对应y1，y2的初值
[t, y] = ode23(f, tspan, y0); % 注意调用格式
plot(t,y);
xlabel('t');
ylabel('y');
legend('y1','y2');

结果

​高阶微分方程.png

作者：@臭咸鱼

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